算数パズル『gontanoe』

1)算数パズル作成出題(素人が考え付いた、小学生でもわかる面白パズル。)
2)水彩画投稿(本業水彩画家、時たま絵を投稿。)

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9月号---Ⅰ前月の解答 Ⅱ前々月の追記 Ⅲ今月の問題 Ⅳパズルの五原則 Ⅴコメント用メアド

今月号は量が膨大につき、何度かに分けて見ていただけましたらと思います。
しかも、8月号問題「正方形の分割問題」の解答欄では、更新日9月1日以降も追記追記で、かなり読みにくいことと思われますが、何とか解読してください。「正方形の分割問題」は、その努力を裏切らないだけの挑み甲斐あるパズルかと自負しています。
Ⅰ.前号の答え---ただいま(9/6現在)未解明中
前号の問題は、まったくの自作問題なので、勘違い、齟齬がないかどうか、懸命に検証しました。結果まずまずの問題で皆様の中には結構はまってしまった方もおられるのではと期待しています。逆に、こりゃパスだと投げた方も多かったかもしれません。問題の検証(どの程度の問題かを判定すること)にご協力いただいている、私の近しい知人(60歳大学の国文科卒)は、5×5等分の問題に挑戦し、やっとできた後これは面白いと言ってくれましたが、次に出した、7×7等分の問題は、少し考えた後、「後で」と言ったきり再チャレンジはしてくれていません。つまり、投げてしまっています。かくの如く結構難題だったかもしれませんが、しつこくやると解は見つかるようです。私は、今(8/30)6×6を再挑戦していましたが、8/31、9月号公開3時間前に6×6の点対称図形分割図を天秤算できわどく発見しました。偶数等分の場合は、後に述べます天秤算が使えないと思っていましたが、使えました。皆さんはいかがでしたでしょうか。この8/31に見つけた答えは問題Bの答えの最後にお示ししますので見てください。
現在9×9の点対称分割1,5,13,17,15,11,9,7,3の並び(下記の解答と同じ並びです。)で、再チャレンジ中ですが、半日やってまだ見つかっていません。一回失敗したら、最初からやり直してみるほかないようで、この点では数独に似たものがあるようですね。
この後1時間してできましたので、9×9の点対称分割の手順を示した解答を最下段にお示しします。参考にしてください。9/9記


問題A---線対象図形で分割した場合



問題B---点対称図形で分割した場合

9/4記、この天秤算で8×8(縦横で釣り合う数を見つけた)に挑戦しましたが、見つけた分割数の並びでは分割図がつくれませんでした。、天秤算が成り立でば必ず分割図はあるとは言えないようで、出来る確率は50%ぐらいのようです。ただし、上記のように奇数等分図で中央の縦列(または横行)に中心点がそろったときは、必ず分割できるようです。追って、詳説させていただきます。


その前に、上記の中の一部の訂正をします。上文上から4行目の「1,5,11に限られます」は
「9,5,1に限られます」(4で割ると1余る数)がいいですね。ただこれは上下左右対称の場合で、点対称は下図のように「片まんじ形」でもよいので、「11、7、3」(4で3余る数)でもいいですね。下図で分かります。
X型(上下左右対称、升数13、中心行1)   Z型(片まんじ形、升数13、中心行3)
〇〇〇     〇〇〇           〇〇〇〇〇
     ⑬                          〇⑬〇
〇〇〇     〇〇〇                     〇〇〇〇〇


X型(上下左右対称、升数13、中心行5)   Z型(片まんじ形、升数13、中心行7)
    〇〇     〇〇               〇〇〇
   〇〇⑬〇〇             〇 〇〇⑬〇〇 〇(左右対称ならよい)
    〇〇     〇〇                  〇〇〇


やっているうちに、見慣れてきます。以上緑文字部9/11記



解答の編集後に発見した、6×6点対称図形での天秤算による分割図を下記に示します。
これがマニュアルになるかもしれません。
下記で、ウ行が1離れ、イ行が3離れ、行が5離れているのは、升の(または行の)幅が2㎝だったと考えると分りやすいかもしれません。つまり、行の中心とセンターラインとの距離は各行の幅が2㎝なら、各行の中心はセンターラインから順に1,3,5㎝になるはずですよね。なお、1,7,9,5,11,3の配列も、いろいろ試行錯誤して、等しくなるものを探すわけですが、結構大変ではあります。最初、各行に1個づつで、見つけていましたが、等しくなる組み合わせはないので、二行目のイ行に7と9を当てはめてみたら、同じになる配列があったというわけです。この瞬間、これで見つかるはずと高揚感を感じました。
さらに、図1で左右での天秤算も考えれば、点対称図形を探し当てることもなく、点対称のそれぞれの中心位置が見つかってしまうかもしれません。(上記緑色文字のごとく、8×8図では中心位置は決定できましたが、分割図は見つかりませんでした。9/4記)
また、上記の解答の中の6×6の図(6/20発見の図)は、やみくも算で見つけた図ですが、この升数の配列も、先に計算で見つけていれば、天秤算方式で見つかっていたことしょう。とにかく、いろいろな手法がありそうです。今後の解明にご期待下さい。


(9/16記)上の図2では縦の天秤算だけで考えましたが、横も見つけられます。
   左側の天秤値   (1+7)×③+11×①=35
   右側の天秤値   (5+3)×①+9×③=35
  ともに天秤値は35となります。分割図を考える前にこの横の天秤算で中心点の位置を  
  見つけていれば、縦の数の配置だけで分割図を考えるより、早く分割図が見つけられ 
  たかもしれません偶数等分の場合は、縦横両方の天秤算で中心点を見つけておき、 
  それをもとに分割図を探すというのがマニュアルと言えそうです。ただし、縦横両方  
  の天秤算がみつり中心点の一が決まったとしても即それで分割図が簡単に見つかるも  
  のでもないようです。例えば、3や5が角部にあってはその点が中心になる3,5の点対 
  称図形は作れない、あるいは、n等分でn超個の升の点対称図形は端部には作れない  
  、または、中心点を中心とする長方形を描いたとき、その長方形の外側には升はおけ  
  なくなる(下図参照)、というようにです。


以上、5~11等分の場合の点対称図形での分割図を示しましたが、これら以外にも答えはいろいろありますね。また、やっていくうちに、
  ①線対称でも天秤算は成り立つが、中心の行(横)、列(縦)の位置が一発で決ま決   
   まらないので、これで分割図を探すのは困難であること。天秤算で、数の並びが見  
   つけられ、中心の行(横)、列(縦)の位置が一発で決まるものの、分割すること  
   が不可能になることが多いことが、8×8等分図でトライして分かりました。9/4記
  ②点対称図形の天秤算の図は、各分割図形が点対称であると同時にほとんど線対称で 
   もあること。---問題Bの答えの図イ)は、升数5の図形だけ非線対称図形。
などなど、色々なことが分かります。数学の図形専門の方なら高度な数学的手法で、数独や、魔法陣のように完全解明することが可能でしょう。今後また考えていくうちに新たなマニュアル(これをこうしていけば分割できるという手順)に思い当たるかもしれません。9月号公開直前の8/31深夜には、6×6の点対称図形分割の天秤算による分割が成功したわけですが、皆様に置かれましてもどうぞほかのパターンもいろいろ考えてみて下さい。


下記は、9月になって考えたもので、中心の値の並びは、あらかじめ天秤算で求めておいたものです。奇数等分の時は中央列(行)があるので、ここに揃えるときは横の天秤算は
考える必要はないですね。揃えない並びも考えられますが、それは別解答になります。9/16記

9×9点対称分割の実際の手順(9/6記)


下の文中「文化k」とあるのは「分割」の変換ミスです。

以上で8月の解答を終了します。ただし、まだ未解明の部分が多く、今後折に触れて追記しますので、どうぞ、関心を持って見続けてください。

ここで、月中問題を一つ、9/7午前出来立ての問題です。
「5×5等分図で、上部1×②+7×①=9(この値を天秤値と名付けます。)、下部9×①=9なので3,5を中央行に置けば天秤算が成り立つ。この並び、すなわち上から1(1行目)、7(2行目)、3と5(3行目=中央の行)、9(4行目)、無し(5行目)、の並びで、升数1,3,5,7,9の5個の点対称図形で、5×5等分の正方形を過不足なく分割して下さい。
(9/7、10:00記
天秤算ですが、縦の並びは示しましたが、横の並びを示していません。それがなくても、縦の並びだけで分割図は見つけられ、それで見つけるのが今回のパズルですが、難しく感じられる場合は下記のヒント図(横の並びが、左列から、1列目無し、2列目5、中央列7と9、4列目3、5列目1となっています。中央列を中心と考えると、左側は5×①で天秤値5、右側は、3×①+1×②で天秤値5で左右の天秤値は等しい。)で、分割図を見つけられたし。出来た時は、やったと感じるはずです。(9/9記)



以上で、本当に 「 Ⅰ.前月の解答 」 を終了します。次号に月中問題の解答と、「点対称図形で分割」のおさらいを掲載する予定です。





Ⅱ.7月号の答えの追記


---結局、迷宮入りのまま?


8月号の記事の中の、7月号の答えの追記の続き、数学本「中学生でもやさしく分かる統計学」の紹介と「平均」についての詳説です。


紹介

平均だから、三つの分数を足して3で割るのではと思っちゃいますよね。そうではなく、速度が距離/時間で表した分数の場合、その分数の分子分母を、ただずらずら足すだけ、つまり小学生の分数の間違い加算式でよいようなのです。(これを、小学分数間違い加算方式と名付けます。)ともかくも小学生の分数の間違い加算式にも意味はあるという事が、水割り論に加えて、言え、7月号問題の合理性が確かめられ安堵感を得ました。
7月号問題1の②
この答えは普通の算術平均になるはずと考えます。つまり8月号に書いた答えです。ここでいまだにいぶかしいのは、平均速度のとき、調和平均と、算術平均をどこで区別するかなのです。次の三つの文章で、平均速度をどう算出すべきか未だに、いや益々謎です。
「太郎の家は学校から300mのところにあります。
 ①太郎は、家から学校まで往きは5分帰りは6分で歩きます。この時往き帰りの平均速度  
  は。
 ②太郎は家に忘れ物したので、家には5分で学校には6分で戻りました。このとき、往復  
  の平均速度は。
 ③太郎は学校までいつも5分でいきます。母は6分で来てくれます。二人の歩 
  く平均速度は。」
①③の時は算術平均で、二つの速度を足して2で割り、②は速度を距離/時間で表した分数300/5と300/6の分子、分母を足すだけと考えますが、これについての適格な説明文にはまだ出会えていません。平均の定義を、①③は個別平均(これは算術平均)、②は延べ平均(これは調和平均)とかなんとか名称を付けたりして、ちゃんとした取り決めがあってもよい気がしますがどうなんでしょうね。サイトでは下記のような説明がちょっとあるにはありました。
「ある状況に於いて、特に率や比を含む状況に於いて、調和平均は適切な平均の値を提供する。例えば、乗り物がある距離を速度xで走り、それから同じ距離を速度yで走ると、平均速度は全距離を全時間で割ったものになるが、これはxとyの調和平均となる。しかし、調和平均が適さない場合もあり、例として、乗り物がある時間速度xで走り、そのあと同じ時間速度yで走ると、平均速度はxとyの算術平均となる。3っつ以上の異なる速度で走った場合も同様となる。」
これによると、同じものが距離か、時間かで決まるもののようですが、太郎の動きの問題では①②③どれも同じ距離ですが、①②と③では平均算出の式は異なるはずと思われ、やはり不明のままです。即ち、迷宮入りです。悪しからず。
以上で7月号の平均問題の追記を終わります。


Ⅲ.今月の問題---お待たせ、佐々木小次郎、一刀両断問題です。


※漫画は結構インパクトありますね。アニメ、漫画雑誌も馬鹿にできないと分りました。

以上で今月の問題を終了します。


Ⅳ.パズルの五原則
拙ブログ公開後2年ですが、いろいろなパズルに触れ、また、自分でも作ってみて、好ましいパズルとはどんなものかを考えるようになりました。で、独断と偏見ですが、「パズルの五原則」なるものをしたためましたので、一瞥(いちべつ)してください。


パズル五原則
一、普通の大人(15歳以上の人間、以下同じ)が、問題の意味を即座に理解しうる。
一、普通の大人が、答えが即座には浮かばないものの数分~数日で浮かび得る。
一、出来た時の、達成感・高揚感が著しい。
一、値や形を変えて別問が作れるパズルの場合、同種の別問に再びトライしてみたくる。
  又は、解法を知ると同種の別問に意味がないパズルの場合、解法が目から鱗である
一、問題が解けても何の役にも立たない。


拙ブログでは、関心をひくために「これぞパズル」などと、時折豪語したりすることがありますが、後でこの原則に照らし合わせてみると、意外にそれほどでもないことがあります。前月の「正方形の分割」問題は「出来た時の、達成感・高揚感が著しい」には当てはまるものの、「同種の問題に、再び挑戦したくなる」点でやや劣るでしょうか。ただし天秤算が「目から鱗の解法である」に当てはまると考えると一応五原則を満たしているといえなくもないですが。
この原則にぴったり当てはまり、今最も好ましいといえるパズルはなんと申しましても「数独」ではないでしょうか。数独は今や英語にもなっており、新聞・雑誌のパズル欄でも採用されていますね。これを超えるパズルの創作は無理としても、より良いパズルの探求に今後とも邁進してまいる所存です。今後ともよろしくお願い申し上げます。


8月号問題「正方形分割問題---点対称図形での分割」は「数独」とは違い、問題図が必要ではなく、「□×□等分でやってみよう」と自分の好きなパターンの問題図が自分で作れ、紙と鉛筆さえあれば、いつでもどこでもすぐ同種の別問題に掛かれるところが、通常のパズルとは違ったすぐれたところかと思われます。マニュアルらしきものもありそうで(今回の6×6の点対称図形での天秤算による答えは、見つける手順を説明できそうです。)、近日中に追記させていただきます。


Ⅴ.コメント用メールアドレス
ご感想、ご意見など、パズル以外のことでも構いません、何なりとメールしてください。なお、解答などもワードなどで書いて(図形も描けそうです。)添付書類で送ってください。できるだけ返信いたします。公開は、希望された場合以外決していたしません。
    コメント用メールアドレス   m o r i y o k o 5 4 @ g m a i l. com
上記メアドに普通にメールいただければ、アカウントを作る必要はありません。
返信メール名は「gontanoe」なので、これが迷惑メール・受信拒否に入らないようにして頂ければ幸いです。


以上で、今月の記事を終了します。拙ブログの宣伝をよろしくお願い申し上げます。
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